市场最重要的特征是流动性。作者：雷达熊，DODO创始人

一个有效的市场包含大量的信息，这些信息承载着市场对价格的判断。但是链上的计算资源是有限的，所以在链上实现高度灵活的市场就像把大象塞进冰箱一样。

把大象放在冰箱里并不少见。互联网历史上有过几次壮举。比如图像压缩和音频压缩。

压缩的本质是提取最重要的特征，丢弃不重要的细节。

那么，一个市场最重要的特征是什么，流动性。流动性可以用深度图来表示。

从下图可以看出，深度图可以抽象成两个三角形，只需要中值价格和斜率来描述这两个三角形。

我们把重点放在右边销售的梯形深度。它最大的特点是基础令牌买的越多，价格越高。因此，这个线性深度可以表示为

其中I是第一个参数“中间价”，k是第二个参数“斜率”。

B代表当前基本令牌库存，B0代表初始基本令牌库存，(B0-B)/B0用于指示基本令牌的消耗量。

这个公式可以使价格随着售出的基本令牌数量线性增加。

但是线性真的是描述流动性的最佳方式吗？不，线性描述有两个限制：

在现实市场中，大部分流动性都集中在市场的中间价附近，但线性描述并没有反映这种不平衡的分布。

即使价格偏离市场中间价很远，也要有流动性，线性描述下的价格有上下限。

我们将非线性引入价格曲线。在不扩大参数的前提下，深度分布更符合市场规律，灵活性更高。

最简单的非线性解法是用乘法代替加法。

这个公式可以满足，随着b的减少，p不断增加，直到无穷大。但是怎么加上坡度的影响呢？

所以B0/B要改革。B0/B1，我们用一个参数来缩放它，在保持这个值大于等于1的同时，我们可以控制它的“度大于1”。

上式中，k的取值范围为[0，1]，决定了价格斜率。

当k=0时，价格完全不变

当k=1时，价格斜率退化为前一版本的公式

k越大，价格变化越大

但是还有一个小问题，这里的 P 是边际价格，对边际价格的积分才是用户需要支付的资产数量。上式中，B0/B 这项积分后出现了对数函数，这会使后续计算变得很复杂。为了避免这一麻烦，我们再进一步：

在 B0/B 外面加一个平方项，这样积分后就变成了一个简单的除法。

令人惊叹的是，当 k=1 时，这条曲线正是 AMM 所定义的 bonding curve。这种巧合使我们相信，这是一套更加触及市场本质的算法。

同理，对于左半边的深度图，我们用对称的做法，将 base token 替换为 quote token，将乘法替换为除法：

我们将左右两边的深度图结合起来，就得到了 PMM 算法的完全版本，整理一下：

PMM 算法是对 Orderbook 市场的高度压缩，参数简单，却极度灵活。

这使得我们在冰箱如此狭小的空间内，拥有了堪比大象的能力。

下面我来列举，通过调整参数和充提规则，这套算法可以实现哪些 use case。

Use Case 1 跟随外部市场价格的主动做市

这一 use case 的应用场景是拥有巨大外部市场的主流币，例如 ETH BTC 等

PMM 可以实现主动调整盘口价格，减少 IL。获得比 AMM 更高的资金利用率，并且持有单币种就能提供流动性

设置如下：

这一 Use Case 我们称之为 DODO Classic Pool。

Use Case 2 轻资本需求的自动做市算法

这一 use case 应用于没有主观定价能力的长尾币市场，将定价权完全交给 taker

通常来讲，长尾币都是新资产，在 AMM 框架下没有足够的卖盘流动性，因而导致其流动性长期匮乏

设置如下：

这一 Use Case 我们称之为 DODO Vending Machine。

Use Case 3 完全自由的做市算法

这一 use case 为那些雄心勃勃，想要大展拳脚的做市商准备。（做市商也可以是项目方或个人）

在此 use case 下，资金池的全部资金都归做市商所有。所有参数都可以调整，做市商可以根据他的判断为资产灵活定价。同时做市商可以任意充提单一币种，而不影响市场价格。

例如：

设置如下：

这一 Use Case 我们称之为 DODO Private Pool。

Use Case 4 流动性众筹

我们可以将新资产发行分为两阶段：

1. 不开启现货交易，所有参与发售的人都以相同的价格获得代币

2. 以上一阶段的结束价格开启现货交易，使用上一阶段剩余的代币和资产建立 DODO Vending Machine

这一 Use Case 我们称之为 CrowdPooling。

Use Case 5 退化为 AMM

当满足以下条件时，PPM 算法表现和 AMM 相同。

这也意味着，AMM 是 PMM 的一种特殊情况。推导过程如下：

AMM 的价格公式是 xy = k，其中 k 是常数，x、y 则分别代表两种代币的数量。为了避免字母上的歧义，我们把 AMM 公式中的恒定乘积定义为Const，并将其改写为 y=Const/x。

其中 y 代表 quote token 库存，x 代表 base token 库存，价格可以写为对 y 求导（注意这里要加绝对值，因为价格是正数）。

接下来回到 k=1 的 PMM 公式，我们可以将其写成：

我们发现，PMM 价格公式的分子上为常数，分母为 base token 的库存。只要令

AMM 的定价公式，与 PMM 的定价公式就一致了！

Use Case 6 稳定币交易

设置如下：

算法表现可以与 curve 相同，并且更灵活，可以比 curve 更接近刚性兑换，或更接近 AMM。